Por que o infinito é importante para a matemática? Para Yuri Lima, professor titular do Instituto de Matemática e Estatística (IME) da USP, a resposta é tão vasta quanto o próprio conceito: “Posso dizer, aproveitando o trocadilho, que a importância do infinito para a matemática é infinita”. Tentaremos desenvolver (um pouco) essa ideia.
O infinito Moldou a forma da matemática calcular o mundo, pois permitiu entender e trabalhar com ideais que vão muito além do que conseguimos contar, medir ou visualizar. Popularmente, ele ficou conhecido como algo que não tem fim, o conceito de infinito é amplo.
“Por exemplo, quando falamos que ‘a reunião demorou um tempo infinito’, tentamos passar a ideia de que a reunião teve uma duração muito longa, maior do que esperávamos. Em Matemática, a noção de infinito também é utilizada para tentar passar a mesma ideia”, apontou o professor da USP.
Contudo, a depender do contexto, o conceito de infinito é diferente. Um exemplo envolve os números naturais, (como 1, 2, 3, 4,…), que utilizamos para contar. Quantos números naturais existem? Qualquer número que pensarmos, seja mil, um milhão, um bilhão, não representará a totalidade dos números naturais. Então surgiu, na Matemática, a necessidade de termos um conceito para tentar representar a quantidade de números naturais. Com o avanço do estudo da Matemática, novas demandas surgiram.
“Em áreas como na geometria projetiva, a noção de pontos no infinito foi introduzida e inclusive bastante utilizada em artes para dar a noção de perspectiva. Neste caso, cada ponto representa uma direção que se pode tomar para ir cada vez mais longe de um ponto de referência”, explicou Lima.
Quem inventou o conceito?
A origem do infinito é tão incerta quanto o seu fim. Como um conceito, ele está presente há vários milênios, desde os tratados dos filósofos antigos, como Zenão de Eleia, que foi um filósofo pré-socrático e viveu por volta de 450 a.C.
Mas foi Georg Cantor (1845–1918), matemático alemão nascido no Império Russo, quem revolucionou o conceito. Ele foi o primeiro a mostrar que é possível comparar tamanhos de conjuntos infinitos, pois percebeu que o conjunto dos números naturais (1, 2, 3, …) é infinito, mas contável. Já o conjunto dos números reais (como todos os decimais entre 0 e 1) é incontável. Ou seja, existem infinitos maiores que outros.
Antes de Georg, o infinito era visto como uma desconfiança. Porém, a partir de seus estudos o infinito passou a ser mais aceito pela matemática. “Conhecido por ter elaborado a moderna teoria dos conjuntos, foi a partir desta teoria que chegou ao conceito de número transfinito, incluindo as classes numéricas dos cardinais e ordinais e estabelecendo a diferença entre estes dois conceitos, que colocam novos problemas quando se referem a conjuntos infinitos. Para se ter uma ideia, as descobertas de Georg Cantor são influentes até os dias atuais”, afirmou Lima.
Tipos de infinito
Apesar de o conceito de infinito parecer algo único, ele pode ser dividido em alguns tipos. Veja alguns abaixo:
- Infinito potencial – é o infinito como processo, então ao contar 1, 2, 3, 4… sem nunca parar, percebemos que nunca “chegamos” ao fim.
- Infinito atual ou absoluto – é o infinito como totalidade existente. Ele diz que o conjunto de todos os números naturais já “existe” como um todo.
- Infinito contável – é o infinito que pode ser enumerado, ou seja, você pode colocar os números em uma ordem (1, 2, 3, 3, 5, 6, 7…), tendo uma fila infinita.
- Infinito incontável – é o infinito ainda maior que o contável, pois entre os números reais entre 0 e 1. Não dá para listar todos, porque entre dois quaisquer números sempre há outros infinitos (0,1, 0,11, 0,111…).
(Por Rone Carvalho)